Karmaşık Sayılar ve Elektrik ilişkisi

Bildiğimiz gibi karmaşık sayılar elektrikte özellikle elektrik devre analizi ve sinyallerde çok sık kullanılan bir matematiksel sayı kümesidir. Bu konu hakkında aklıma takılan bir soru oldu. Bunun cevabını araştırdım ve tatmin edici cevaplar buldum. Elektronik veya mekatronik öğrencilerinede türkçe bir kaynak olabilmesi için bu konuyu açıyorum.

Öncelikle aklımda; Karmaşık sayılar niçin elektrikte bukadar çok kullanılıyor. Yani niye ihtiyaç duyulmuş. Bir sayının karesinin -1 olmasına neden ihtiyaç duyulmuş ki? Doğa böylemi işliyor? gibi sorular vardı. Daha sonra yaptığım araştırmalar ve kendi bilgilerimide harmanlayarak şöyle bir sonuca vardım.

Matematik oyunu kurallarına göre oynayan bir oyun gibidir. Matematik bir bilim değildir. Gerçeği temsil etmez. Yalnızca çalışan bir akıl sistemidir. Matematiği doğaya bakıp görmüyoruz, doğa gözlemlerimize uygun matematik üretiyoruz. Zamanla matematiğin temel kurallarında sorunlar olduğu keşfedildi, bu sorunlardan biriside şu; ihtiyacımız olan tüm sayıları matematiğin kuralları tanımlayamıyordu. Bunu çözmek için binlerce yıllık matematik kurallarını değiştirmek yerine, doğada gözlediğimiz olaylar için kuralların dışına taşan karmaşık sayıları yarattık. Şunu unutmayın ki 2+2 biz 4 dediğimiz için 4 tür. Yani düşündüğüm gibi gariplik doğa ile karmaşık sayı arasındaki ilişkide değil. Reel sayılarla doğanın arasındaki eksik ilişkide. Çünkü matematiği ilk oluştururken doğa gözleminden çok faydalanmıyor, yalnızca akılla çıkarımlar yapıyorduk. Ancak bu Galileo'dan sonra değişti sanırım. Mesela diferansiyel denklemler ve kalkülüs, doğa gözlemi sonucu o gözlemi modelleyebilmek için Newton'un oluşturduğu bir matematiksel sistem.

Yani kısaca sorun matematiğin kuralları oluşturulurken yapılan eksikler. En baştan karmaşık sayılarıda içeren bir sayı kümesi yapılabilirdi ancak bunu ilk başlarda ön görmek imkansızdı tabi. Yani karmaşık sayılar olmayan bir şey değil, eksik olanın yaması. Ancak sistemin temel kurallarıyla uyuşmadığı için bu yama bize gerçek dışı geliyor. En başından beri bir sayının karesi negatif olamaz dendiği için öyle biliyorduk. Halbuki bu kuralı değiştirmek ve matematiği baştan yaratmak mümkün. Bu konu biraz uzun bir konu ancak aksiyom ve teoremin ne olduğunu inceleyin ve Öklid'in elemanlarını okuyun. O zaman çok daha iyi anlarsınız.

Burada biraz Sokrates ve Aristo kavgasına girmiş oluyoruz ama bende Aristo gibi doğru bilgiye erişmek yalnızca akılla mümkün olamazı savunuyorum. Gözleminde yer alması gerekmekte. Zaten bu yüzden Sokrates ve Platon'dan mükemmel bir akıl sistemine dayalı matematik ve hukuk çıkarken, aristodan genel anlamıyla Bilim daha dar anlamıyla Doğa Bilimleri çıkıyor.

Bu sorunu kendimce çözdüğüme göre şimdide şöyle bir soru var aklımda. Matematikten daha başarılı bir hesap sistemi yapabilirmiyiz? Ya da matematiği günümüze uygun olarak en baştan düzgünce tasarlayabilirmiyiz? Çünkü bunu Riemann geometrisi ile geometride yaptık. Ha bir de geometri ve matematik arasındaki ilişkide gariptir. Onuda başka zamana bırakalım.

Bu yazıyı istediğiniz gibi eleştirebilir veya katkıda bulunabilirsiniz. Bilgilendirme amacıyla yazdığım kadar kaliteli forum tartışmasıda olabilecek bir yazı çünkü. Aynı Roma forumları gibi.

Cunku diferansiyel denklemlerin cozum kumesi her zaman reel sayilardan ibaret degildir ve elektronik devre analizi yapilirken kompleks sayi kokleriyle ugrasmak zorunda kalirsin.

Bir sayinin "Reel" olmasi, onun gercekten var oldugunu, "Kompleks" olmasi gercekte olmadigini gostermez.

Gercek sudur ki, sayi diye bir sey zaten yok. Paralel , meridyen, sayilar, acilar vs hep bizim "uydurdugumuz" seyler.

Amac, dogayi modellemektir. Normal konusma dili, olaylari ifade etmekte cok yetersizdir. Yoruma aciktir, bir soz birden fazla anlama gelebilir. Matematik bu eksigi kapatir. Objektiftir, ambigious degildir ve herkesin ayni seyi anlamasina yardimci olur.

Matematigi nasil dizayn edersen et, sonsuzluk ve yokluk kavramiyla bas etmen gerekir ve yine bir yerlerde "Reel" ya da "Irrasyonel" tabirleri kullanmak zorunda kalacaksin. 1 ile 2 arasinda da sonsuz tane sayi var, 1 ile 3 arasinda da. 1 den sonsuza kadar numaralandirilmis odalarda kalan sonsuz tane insanin bulundugu otele, sonsuz tane sonsuz insan daha sigabiliyor. ( Hilbert Uzayi )

Matematigi guzel yapan bu detaylari bence.

Matrix'te tam da bu konuya uygun bir soz var:

"There is no spoon."

Sayi diye bir sey zaten yok : )

bitwise dedi:

Cunku diferansiyel denklemlerin cozum kumesi her zaman reel sayilardan ibaret degildir ve elektronik devre analizi yapilirken kompleks sayi kokleriyle ugrasmak zorunda kalirsin.

Bir sayinin "Reel" olmasi, onun gercekten var oldugunu, "Kompleks" olmasi gercekte olmadigini gostermez.

Gercek sudur ki, sayi diye bir sey zaten yok. Paralel , meridyen, sayilar, acilar vs hep bizim "uydurdugumuz" seyler.

Amac, dogayi modellemektir. Normal konusma dili, olaylari ifade etmekte cok yetersizdir. Yoruma aciktir, bir soz birden fazla anlama gelebilir. Matematik bu eksigi kapatir. Objektiftir, ambigious degildir ve herkesin ayni seyi anlamasina yardimci olur.

Matematigi nasil dizayn edersen et, sonsuzluk ve yokluk kavramiyla bas etmen gerekir ve yine bir yerlerde "Reel" ya da "Irrasyonel" tabirleri kullanmak zorunda kalacaksin. 1 ile 2 arasinda da sonsuz tane sayi var, 1 ile 3 arasinda da. 1 den sonsuza kadar numaralandirilmis odalarda kalan sonsuz tane insanin bulundugu otele, sonsuz tane sonsuz insan daha sigabiliyor. ( Hilbert Uzayi )

Matematigi guzel yapan bu detaylari bence.

Matrix'te tam da bu konuya uygun bir soz var:

"There is no spoon."

Sayi diye bir sey zaten yok : )

Genişletmek için tıkla...

Hemen hemen aynı şeyleri söylemişiz hocam çoğunlukla katılıyorum. Yalnızca doğal dillerin zayıflığına katılmıyorum. Doğal dilleri tüm bilimleri açıklamak için kullanabiliyorken(sosyoloji, tarih, fizik vs.) matematiği hepsinde kullanamıyoruz. Yalnızca doğanın temel olaylarında yani basit olaylarda kullanabiliyoruz. Milyonlarca basit temel olgunun bir araya gelmesiyle oluşan olayları inceleyen sosyoloji gibi bilimlerde matematik yetersiz kalıyor. Olaya daha geniş pencereden bakma ihtiyacı duyuluyor. Örneğin bir cismin enerjisini bulmak için tek tek onu oluşturan temel parçacıkların enerjisini toplamak yerine, cisme daha geniş açıdan bakabilen bir klasik mekanik formülüyle bulabiliyoruz. Aynı yaklaşımı sosyoloji için yapmak mümkün değil gibi görünüyor.

Ayrıca matematiğin temeline 1 ile 2 arasında hiç bir sayı yoktur aksiyomu koyarsan, hiçbir zaman olmaz. Ancak bu daha fazla problem doğurur. Yazıyı okuduğunuz için teşekkürler bu arada.

IIBySinyoRII dedi:

Hemen hemen aynı şeyleri söylemişiz hocam çoğunlukla katılıyorum. Yalnızca doğal dillerin zayıflığına katılmıyorum. Doğal dilleri tüm bilimleri açıklamak için kullanabiliyorken(sosyoloji, tarih, fizik vs.) matematiği hepsinde kullanamıyoruz. Yalnızca doğanın temel olaylarında yani basit olaylarda kullanabiliyoruz. Milyonlarca basit temel olgunun bir araya gelmesiyle oluşan olayları inceleyen sosyoloji gibi bilimlerde matematik yetersiz kalıyor. Olaya daha geniş pencereden bakma ihtiyacı duyuluyor. Örneğin bir cismin enerjisini bulmak için tek tek onu oluşturan temel parçacıkların enerjisini toplamak yerine, cisme daha geniş açıdan bakabilen bir klasik mekanik formülüyle bulabiliyoruz. Aynı yaklaşımı sosyoloji için yapmak mümkün değil gibi görünüyor.

Ayrıca matematiğin temeline 1 ile 2 arasında hiç bir sayı yoktur aksiyomu koyarsan, hiçbir zaman olmaz. Ancak bu daha fazla problem doğurur. Yazıyı okuduğunuz için teşekkürler bu arada.

Genişletmek için tıkla...

Ona zayif demeyelim de, yetersiz diyelim. Matematigin deterministik olmasi, sosyal bilimlerde kullanilmasini zorlastiriyor. Galile'nin bir sozu " Measure what is measurable and make measurable what it is not so " . Sosyal bilimlerde her seyi hesaplayamiyorsun. Ornegin bir toplumun ne kadar mutlu oldugunu nasil hesaplarsin? Bazi kistaslar belirlersin ama senin dedigin gibi kinetik enerjisi gibi deterministik sekilde formulize edemezsin. Matematiksel seviyeye indirgeyemedigin olaylarda da mecburen dogal konusma dillerini kullanmak zorunda kaliyorsun o da karmasaya yol aciyor.

Karmasadan kastim da su, neredeyse hic bir kelime yalnizca tek bir anlama gelmiyor dogal konusma dilinde. Ornegin matematikteki countable & uncountable ( sayilabilir, sayilamaz ) kavramlari aslinda dogal konusma dilindeki ile ayni sey degil. Marmaris plajinda sayilamayacak kadar kum tanesi vardir desem dogal konusma dili acisindan yanlis bir sey soylemis olmam. Ama matematiksel olarak yanlis bir sey soylemis olurum ( * ). Demek istedigim bu.

* - Cunku aslinda sonlu bir kumenin eleman sayisindan bahsediyorum. Sayilamayacak olmasi fiziksel zorlugundan ileri geliyor, yeterince kaynak harcayarak delinin biri tum kum tanelerini sayabilir. Ama ne kadar kaynak harcarsan harca 1 ve 2 arasindaki reel sayilari sayamazsin.

bitwise dedi:

Ona zayif demeyelim de, yetersiz diyelim. Matematigin deterministik olmasi, sosyal bilimlerde kullanilmasini zorlastiriyor. Galile'nin bir sozu " Measure what is measurable and make measurable what it is not so " . Sosyal bilimlerde her seyi hesaplayamiyorsun. Ornegin bir toplumun ne kadar mutlu oldugunu nasil hesaplarsin? Bazi kistaslar belirlersin ama senin dedigin gibi kinetik enerjisi gibi deterministik sekilde formulize edemezsin. Matematiksel seviyeye indirgeyemedigin olaylarda da mecburen dogal konusma dillerini kullanmak zorunda kaliyorsun o da karmasaya yol aciyor.

Karmasadan kastim da su, neredeyse hic bir kelime yalnizca tek bir anlama gelmiyor dogal konusma dilinde. Ornegin matematikteki countable & uncountable ( sayilabilir, sayilamaz ) kavramlari aslinda dogal konusma dilindeki ile ayni sey degil. Marmaris plajinda sayilamayacak kadar kum tanesi vardir desem dogal konusma dili acisindan yanlis bir sey soylemis olmam. Ama matematiksel olarak yanlis bir sey soylemis olurum ( * ). Demek istedigim bu.

* - Cunku aslinda sonlu bir kumenin eleman sayisindan bahsediyorum. Sayilamayacak olmasi fiziksel zorlugundan ileri geliyor, yeterince kaynak harcayarak delinin biri tum kum tanelerini sayabilir. Ama ne kadar kaynak harcarsan harca 1 ve 2 arasindaki reel sayilari sayamazsin.

Genişletmek için tıkla...

Evet haklısınız, Matematiğin farklı bir dil olduğunu anlatmıştım ancak bu farkın sebebini bilmiyordum. Bu sebebe getirdiğiniz açıklama ikna etti teşekkürler.

Ayrıca deterministik kuralların pratikte uygulamasının zorluğu, uzun zamandır bilimde bir şeyi kanıtlamak için değil, yanlışlamak için deney yapılmasınında bir sebebidir. Bir şeyi kanıtlamak belkide sonsuz denemede mümkünken yanlışlamak tek deneme ile mümkündür. Bilimsel bilgi elenerek ilerleme sağlanır. Konuyla ilintili olduğu için bunu da eklemek istedim.