Çözüldü Moduler aritmetik neden 1'de tekrarlar?
- Konuyu başlatan Bestty
- Başlangıç Tarihi
- Mesaj 6
- Görüntüleme 88
Bu konu çözüldü olarak işaretlenmiştir. Çözülmediğini düşünüyorsanız konuyu rapor edebilirsiniz.
Çözüm
Önce 2'nin hangi kuvvetinin 9'a bölümünden kalanının 1 olduğunu bulalım:
2'nin
Bu aslında sadece
2⁰ ve 2⁶ sayılarının 9'a bölümünden kalanları eşit olduğu için devamlarındaki kuvvetlerin kalanları da eşit oluyor.
Şöyle de düşünebilirsiniz: 2⁶'nın 9'a bölümünden kalan 1 olduğu için aslında 2⁶ çarpımda etkisiz eleman (1) olacaktır. Bu sebeple 6 uzaklıktaki kuvvetlerin 9'a bölümünden kalanları eşittir:
Bir başka örnek olarak mod değeri 6 olsun:
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 8
- 2⁴ = 7
- 2⁵ = 5
- 2⁶ = 1
(1, 2, 4, 8, 7, 5)'in tekrarladığından emin olabiliriz. Bunun nedenini arıyoruz.2'nin
k. kuvvetini bulmak için 2ᵏ = 2ᵏ⁻¹ * 2 işlemini yapıyoruz; daha doğrusu, yapabiliriz. Burada 2ᵏ⁻¹'den ne kadar 9 çıkarırsak çıkaralım (veya ne kadar eklersek ekleyelim) çarpımın 9'a bölümünden kalan değişmeyecektir çünkü çarpımdan da, 2ᵏ⁻¹'den ne kadar çıkardıysak onun 2 katını çıkarmış olacağız yani yine 9'un katı. Dolayısıyla 2ᵏ⁻¹ yerine 9'a bölümünden kalanı, 2ᵏ⁻¹'in 9'a bölümünden kalanıyla aynı olan bir sayıyı alırsak (m olsun) m * 2'nin de 9'a bölümünden kalan aynı olacaktır çünkü dikkat edin ki m, 2ᵏ⁻¹ sayısından belirsiz sayıda 9 çıkarmakla (veya eklemekle) elde edilebilir bir sayı, sonuçta kalanlar eşit. Bu nedenle de 9'a bölümünden kalanı eşit olan 2'nin tüm kuvvetleri için bir sonraki kuvvetlerin de kalanı eşit olacaktır.Bu aslında sadece
2ᵏ⁻¹ * 2 formundaki çarpımlar için değil genel çarpım ifadeleri için (a * b) de geçerli. a yerine 9'a bölümünden kalanı a'nınkine eşit bir sayı yazabilirsiniz ve çarpımın kalanı yine de değişmez çünkü a'dan ne kadar 9 çıkarırsanız çarpımdan da onun b katı kadar çıkarmış olursunuz yani yine 9'un katı.2⁰ ve 2⁶ sayılarının 9'a bölümünden kalanları eşit olduğu için devamlarındaki kuvvetlerin kalanları da eşit oluyor.
Şöyle de düşünebilirsiniz: 2⁶'nın 9'a bölümünden kalan 1 olduğu için aslında 2⁶ çarpımda etkisiz eleman (1) olacaktır. Bu sebeple 6 uzaklıktaki kuvvetlerin 9'a bölümünden kalanları eşittir:
0., 6., 12., 18., ...1., 7., 13., 19., ...- ...
5., 11., 17., 23., ...
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 8
- 2⁴ = 16
- 2⁵ = 12
- 2⁶ = 4
(4, 8, 16, 12) olup 2'nin 0. ve 1. kuvvetleri tekrarın dışında kalıyor. Tekrar illa 0. kuvvetten başlamak zorunda değil yani.Bir başka örnek olarak mod değeri 6 olsun:
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 2
(2, 4). Sadece 0. kuvvet tekrarın dışında.
brkdnmz
Kilopat
Daha fazla
- Cinsiyet
- Erkek
- Meslek
- Öğrenci
Önce 2'nin hangi kuvvetinin 9'a bölümünden kalanının 1 olduğunu bulalım:
2'nin
Bu aslında sadece
2⁰ ve 2⁶ sayılarının 9'a bölümünden kalanları eşit olduğu için devamlarındaki kuvvetlerin kalanları da eşit oluyor.
Şöyle de düşünebilirsiniz: 2⁶'nın 9'a bölümünden kalan 1 olduğu için aslında 2⁶ çarpımda etkisiz eleman (1) olacaktır. Bu sebeple 6 uzaklıktaki kuvvetlerin 9'a bölümünden kalanları eşittir:
Bir başka örnek olarak mod değeri 6 olsun:
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 8
- 2⁴ = 7
- 2⁵ = 5
- 2⁶ = 1
(1, 2, 4, 8, 7, 5)'in tekrarladığından emin olabiliriz. Bunun nedenini arıyoruz.2'nin
k. kuvvetini bulmak için 2ᵏ = 2ᵏ⁻¹ * 2 işlemini yapıyoruz; daha doğrusu, yapabiliriz. Burada 2ᵏ⁻¹'den ne kadar 9 çıkarırsak çıkaralım (veya ne kadar eklersek ekleyelim) çarpımın 9'a bölümünden kalan değişmeyecektir çünkü çarpımdan da, 2ᵏ⁻¹'den ne kadar çıkardıysak onun 2 katını çıkarmış olacağız yani yine 9'un katı. Dolayısıyla 2ᵏ⁻¹ yerine 9'a bölümünden kalanı, 2ᵏ⁻¹'in 9'a bölümünden kalanıyla aynı olan bir sayıyı alırsak (m olsun) m * 2'nin de 9'a bölümünden kalan aynı olacaktır çünkü dikkat edin ki m, 2ᵏ⁻¹ sayısından belirsiz sayıda 9 çıkarmakla (veya eklemekle) elde edilebilir bir sayı, sonuçta kalanlar eşit. Bu nedenle de 9'a bölümünden kalanı eşit olan 2'nin tüm kuvvetleri için bir sonraki kuvvetlerin de kalanı eşit olacaktır.Bu aslında sadece
2ᵏ⁻¹ * 2 formundaki çarpımlar için değil genel çarpım ifadeleri için (a * b) de geçerli. a yerine 9'a bölümünden kalanı a'nınkine eşit bir sayı yazabilirsiniz ve çarpımın kalanı yine de değişmez çünkü a'dan ne kadar 9 çıkarırsanız çarpımdan da onun b katı kadar çıkarmış olursunuz yani yine 9'un katı.2⁰ ve 2⁶ sayılarının 9'a bölümünden kalanları eşit olduğu için devamlarındaki kuvvetlerin kalanları da eşit oluyor.
Şöyle de düşünebilirsiniz: 2⁶'nın 9'a bölümünden kalan 1 olduğu için aslında 2⁶ çarpımda etkisiz eleman (1) olacaktır. Bu sebeple 6 uzaklıktaki kuvvetlerin 9'a bölümünden kalanları eşittir:
0., 6., 12., 18., ...1., 7., 13., 19., ...- ...
5., 11., 17., 23., ...
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 8
- 2⁴ = 16
- 2⁵ = 12
- 2⁶ = 4
(4, 8, 16, 12) olup 2'nin 0. ve 1. kuvvetleri tekrarın dışında kalıyor. Tekrar illa 0. kuvvetten başlamak zorunda değil yani.Bir başka örnek olarak mod değeri 6 olsun:
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 2
(2, 4). Sadece 0. kuvvet tekrarın dışında.
KS
KS
Bestty
Kilopat
Daha fazla
- Cinsiyet
- Erkek
İzledigim videoda 1 disindaki degerlere ulasinca neden tekrara ulastigimizi genel hatlariyla anlatmisti ancak ornekte 2¹'den basladi ve 1'e ulasinca direkt "1'i gordugumuz icin tekrara ulastigimizi anlamis olduk" deyip gecmisti o yuzden kafama takildi. Anladigim kadariyla onun sebebi de aslinda 0. kuvvetten baslanilmasi gerekiyor. Cok teşekkür ederim hocam
.
brkdnmz
Kilopat
Daha fazla
- Cinsiyet
- Erkek
- Meslek
- Öğrenci
Rica ederim. : )
Aslında doğru demiş, şundan ötürü:
Kalan 1 olunca bu daha anlaşılır oluyor yani.
Aslında doğru demiş, şundan ötürü:
Kalan 1 olunca bu daha anlaşılır oluyor yani.
KS
KS
Bestty
Kilopat
Daha fazla
- Cinsiyet
- Erkek
Rica ederim
Aslında doğru demiş, şundan ötürü:
Kalan 1 olunca bu daha anlaşılır oluyor yani.
Carpimda etkisiz eleman kismini oturtamadim hocam, oradaki 1'in onemsiz oldugunu saniyordum. İlk sayinin kalani bulduktan sonra kalan 1 de olsa 4'te olsa 2'yle carpiliyor ve icinde 9 varsa cikarilip bir sonraki kalan bulunuyor seklinde ilerlemiyor muyuz? Oradaki 1'in onemi 2⁰dan sonraki ilk 1 kalanini veren sayi olmasindan gelmiyor mu? Cunku son verdiginiz ornekte tekrara dusen sayi 1 degil 2 oluyor, yani etkisiz eleman olmasinin buradaki onemini algilayamadim.
brkdnmz
Kilopat
Daha fazla
- Cinsiyet
- Erkek
- Meslek
- Öğrenci
Mesela 2⁶ = 1 (mod 9) ya, bundan dolayı:
Yoksa haklısınız, 1 olması önemsiz. Yalnızca, 1 olunca böyle bir durum oluşuyor.
Böyle de düşünülebilir, evet. Farklı bir bakış açısı sunmak istedim.
- 2^(x + 6) = 2^x * 2⁶ = 2^x (mod 9)
Yoksa haklısınız, 1 olması önemsiz. Yalnızca, 1 olunca böyle bir durum oluşuyor.
Böyle de düşünülebilir, evet. Farklı bir bakış açısı sunmak istedim.
Benzer konular
Yeni konular
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Paralel bağlı lityum pil devresi 4S BMS bağlanabilir mi?- hcnuPcitirC
- Mesaj: 0
